【动态规划】1.01背包&完全背包

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【动态规划】1.01背包&完全背包

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【动态规划】1.01背包&完全背包

一、01背包

问题描述

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 v_i ，价值是 w_i 。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 v_i , w_i ，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

解法分析

二维DP

f[i,j] : 从前i个物品中选出体积<=j的价值集合中的最大价值
状态计算（集合划分）:
输出f[N,V]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m;
int v[1001],w[1001],f[1001][1001];

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i])
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

一维DP

将状态f[i][j]优化到一维f[j]，实际上只需要做一个等价变形。

为什么可以这样变形呢？我们定义的状态f[i][j]可以求得任意合法的i与j最优解，但题目只需要求得最终状态f[n][m]，因此我们只需要一维的空间来更新状态。

（1）状态f[j]定义: N 件物品，背包容量 j 下的最优解。

（2）注意枚举背包容量 j 必须从 m 开始。

（3）为什么一维情况下枚举背包容量需要逆序？在二维情况下，状态f[i][j]是由上一轮i - 1的状态得来的，f[i][j]与f[i - 1][j]是独立的。而优化到一维后，如果我们还是正序，则有f[较小体积]更新到f[较大体积]，则有可能本应该用第i-1轮的状态却用的是第i轮的状态。

（4）例如，一维状态第i轮对体积为3的物品进行决策，则f[7]由f[4]更新而来，这里的f[4]正确应该是f[i - 1][4]，但从小到大枚举j这里的f[4]在第 i 轮计算却变成了f[i][4]。当逆序枚举背包容量 j 时，我们求f[7]同样由f[4]更新，但由于是逆序，这里的f[4]还没有在第 i 轮计算，所以此时实际计算的f[4]仍然是f[i - 1][4]。

（5）简单来说，一维情况正序更新状态f[j]需要用到前面计算的状态已经被「污染」，逆序则不会有这样的问题。

状态转移方程为：f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i] 。

作者：深蓝
链接：https://www.acwing.com/solution/content/1374/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

#include <stdio.h>
#define MAX(a,b) (a>b?a:b)
int state[1001];
int main()
{
    int N,V;
    scanf("%d%d",&N,&V);
    int v[1001],w[1001];
    int i;
    for(i=1;i<=N;i++){
        scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
    }
    int j;
    for(i=1;i<=N;i++){
        for(j=V;j>=v[i];j--){//上表中从右向左
            state[j]=MAX(state[j],state[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    printf("%d",state[V]);
    return 0;
}

二、完全背包

问题描述

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品使用次数不限。

第 i 件物品的体积是 v_i ，价值是 w_i 。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N,M;
int dp[1001];
int v[1001],w[1001];

int main()
{
    cin>>N>>M;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=v[i];j<=M;j++){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
        }
    cout<<dp[M];
    return 0;
}

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参考资料

一、01背包

问题描述

输入格式

输出格式

解法分析

二维DP

一维DP

二、完全背包

问题描述

输入格式

输出格式

解法分析

一维DP